Matematika · Grafik Fungsi Trigonometri

1. Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M Sinambela

23/08/2021 08:01:32

SMA 10 K-13 revisi 2017

Daftar Isi

Kompetensi Dasar Konsep Nilai Mutlak Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Uji Kompetensi 1 Rangkuman

Kompetensi Dasar Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Uji Kompetensi 1 Uji Kompetensi 2 Rangkuman

Kompeteni dasar Memahami Notasi, Domain, Range, dan Grafik Suatu Fungsi Menemukan Konsep Fungsi Komposisi Operasi Aljabar pada Fungsi Fungsi Invers Sifat Operasi Fungsi Komposisi Menemukan Rumus Fungsi Invers Uji Kompetensi 1 Uji Kompetensi 2 Rangkuman

Kompetensi dasar Ukuran Sudut Perbandingan Trigonometri Nilai Perbandingan Trigonometri Relasi Sudut Identitas Trigonometri Aturan Sinus dan Cosinus Grafik Fungsi Trigonometri Uji Kompetensi 1 Uji Kompetensi 2 Uji Kompetensi 3 Uji Kompetensi 4 Uji Kompetensi dan rangkuman

Halaman

Matematika193Akibatnya, untuk menentukan panjang sisi s, kita perhatikan ∆ABD.cos ∠DAB = −ABADBDAB AD2 22+2..cos ∠DAB = −s2 224 +22.4.2Atau16.(cos 100,06o) = 20 – s2 ↔ 16(–0,174) = 20 – s2 ↔ –2784 = 20 – s2 ↔s2 = 22,784 ↔s= 22, 784 = 4,709 4.7 Grafik Fungsi Trigonometri Pada subbab ini, kita akan mengkaji bagaimana konsep trigonometri jika dipandang sebagai suatu fungsi. Mengingat kembali konsep fungsi pada Bab 3, fungsi f(x) harus terdefinisi pada daerah asalnya. Jika y = f(x) = sin x, maka daerah asalnya adalah semua x bilangan real. Namun, mengingat satuan sudut (subbab 4.1) dan nilai-nilai perbandingan trigonometri (yang disajikan pada Tabel 4.3), pada kesempatan ini, kita hanya mengkaji untuk ukuran sudut dalam derajat . Mari kita sketsakan grafik fungsi y = f(x) = sin x, untuk 0 ≤x≤ 2π.a. Grafik Fungsiy = sin x, dan y = cos x untuk 0 ≤x≤ 2πMasalah 4.12Dengan keterampilan kamu dalam menggambar suatu fungsi (Bab 3), gambar-kan grafik fungsi y = sin x, untuk 0 ≤x≤ 2π.Alternatif PenyelesaianDengan mencermati nilai-nilai sinus untuk semua sudut istimewa yang disajikan pada Tabel 4.3, kita dapat memasangkan ukuran sudut dengan nilai sinus untuk setiap sudut tersebut, sebagai berikut.DABs24Gambar 4.47 Segitiga ABD

Kelas X SMA/MA/SMK/MAK194(0, 0); π1,62; π2,42; π3,32; π,12, π23,32; π32,42; π51,62; (π, 0); π71,62; π−52,42; π−43,32; π−3,12; π−53,32; π−72,42; π−111,32; dan (2π, 0).Selanjutnya pada koordinat kartesius, kita menempatkan pasangan titik-titik untuk menemukan suatu kurva yang melalui semua pasangan titik-titik tersebut.Selengkapnya disajikan pada Gambar 4.48 berikut ini.21–1π/2π2π3π/2x–2yπ1,-32π2,42π3,32π,12Gambar 4.48 Grafik fungsi y= sin x, untuk 0 ≤x≤ 2π

Matematika195Dari grafik di atas, kita dapat merangkum beberapa data dan informasi seperti brikut.a. Untuk semua ukuran sudut x, nilai maksimum fungsi y = sin x adalah 1, dan nilai minimumnya adalah –1.b. Kurva fungsi y = sin x, berupa gelombang.c. Untuk 1 periode (1 putaran penuh) kurva fungsi y = sin x, memiliki 1 gunung dan 1 lembah.d. Nilai fungsi sinus berulang saat berada pada lembah atau gunung yang sama. e. Untuk semua ukuran sudut x, daerah hasil fungsi y = sin x, adalah –1 ≤y≤ 1.Dengan konsep grafik fungsi y = sin x, dapat dibentuk kombinasi fungsi sinus.Misalnya y = 2.sin x, y = sin 2x, dan y = sin πx+2. Selengkapnya dikaji pada contoh berikut. Contoh 4.17Gambarkan grafik fungsi y = sin 2x dan y = sin πx+2, untuk 0 ≤x≤ 2π.Kemudian tuliskanlah perbedaan kedua grafik tersebut.Alternatif PenyelesaianDengan menggunakan nilai-nilai perbandingan trigonometri yang disajikan pada Tabel 4.3, maka pasangan titik-titik untuk fungsi y = sin 2x, untuk 0 ≤x≤ 2πadalah:Untuk x = 0, maka nilai fungsi adalah y = sin 2.(0) = sin 0 = 0. ⇒ (0, 0)Untuk x = π6, maka nilai fungsi adalah y = sin 2.π6 = sin π3 = 32⇒,π362Untuk x = π4, maka nilai fungsi adalah y = sin 2.π4 = sin π2 = ⇒ π,14.

Kelas X SMA/MA/SMK/MAK196Demikian seterusnya hingga untuk x = 2π, maka niali fungsi adalah y = sin 2.(2π) = sin 4π = sin 0 = 0 ⇒ (2π, 0)Selengkapnya pasangan titik-titik untuk fungsi y = sin 2x, 0 ≤x≤ 2π, yaitu(0, 0); π1,12 2; π2,82; π3,62; π,14; π3,32; π,02; π−23,32;π33,42; π−53,62; (π, 0); π73,62; ......; (2π, 0).Dengan pasangan titik-titik tersebut, maka grafik fungsi y = sin 2x, 0 ≤x≤ 2π disajikan pada Gambar 4.49.Gambar 4.49 Grafik fungsi y= sin 2x, untuk 0 ≤x≤ 2π10,50,51yπ/2π2π3π/2xπ2,82π3,62π1,12 2

Matematika197Berbeda dengan fungsi y = sin 2x, setiap besar sudut dikalikan dua, tetapi untuk fungsi y = sin πx+2, setiap besar sudut ditambah π2 atau 90o. Sekarang kita akan menggambarkan fungsi y = sin πx+2, untuk 0 ≤x≤ 2π.Coba kita perhatikan kembali Sifat 4.4, bahwa sin πx+2 = cos x. Artinya, sekarang kita akan menggambarkan fungsi y = cos x, untuk 0 ≤x≤ 2π.Dengan menggunakan nilai-nilai cosinus yang diberikan pada Tabel 4.3 kita dapat merangkumkan pasangan titik-titik yang memenuhi fungsi y = cos x, untuk 0 ≤x≤ 2π, sebagai berikut.(0, 1); π3,62; π2,42; π1,32; π,02; π−21,32; π−32,42; π−53,62; (π, –1)π−73,62; π−52,42; π−41,32; π3,02; π51,32; π72,42; π113,62; (2, 1).Dengan demikian, grafik fungsi y = cos x, untuk 0 ≤x≤ 2π, disajikan pada Gambar 4.50 berikut.Gambar 4.50 Grafik fungsi y= cos x, untuk 0 ≤x≤ 2ππ/2π2π10,50,5–1yx3π/2(π, 0)π1,32π2,42π3,62(0, 1)

Kelas X SMA/MA/SMK/MAK198Dari kajian grafik, grafik fungsi y = sin 2x sangat berbeda dengan grafik fungsiy = sin πx+2 = cos x, meskipun untuk domain yang sama. Grafik y = sin 2x, memiliki 2 gunung dan 2 lembah, sedangkan grafik fungsi y = sin πx+2= cos x, hanya memiliki 1 lembah dan dua bagian setengah gunung. Nilai maksimum dan minimum fungsi y = sin 2x sama y = sin πx+2 = cos x untuk domain yang sama. Selain itu, secara periodik, nilai fungsi y = sin 2xdan y = sin πx+2 = cos x, berulang, terkadang menaik dan terkadang menurun.PertanyaanDengan pengetahuan dan keterampilan kamu akan tiga grafik di atas dan konsep yang sudah kamu miliki pada kajian fungsi, sekarang gambarkan dan gabungkan grafik y = sin x dan y = cos x, untuk domain 0 ≤x≤ 2π. Rangkumkan hasil analisis yang kamu temukan atas grafik tersebut.b. Grafik fungsiy = tan x, untuk 0 ≤x≤ 2πKajian kita selanjutnya adalah untuk menggambarkan grafik fungsi y = tan x, untuk 0 ≤x≤ 2π. Mari kita kaji grafik fungsi y = tan x, melalui masalah berikut.Masalah 4.13Untuk domain 0 ≤x≤ 2π, gambarkan grafik fungsi y = tan x.Alternatif PenyelesaianDengan nilai-nilai tangen yang telah kita temukan pada Tabel 4.3 dan dengan pengetahuan serta keterampilan yang telah kamu pelajari tentang menggambarkan grafik suatu fungsi, kita dengan mudah memahami pasangan titik-titik berikut.

Matematika199(0, 0); π3,63; π,14; π,33; π∼,2; 3π−2,3; π−3,14; π53,63;(π, 0); π73,63; π5,14; π4,33; π3,~2; 3π−5,3; π−7,14; 33π−11,6; (2π, 0). Dengan demikian, grafik fungsi y = tan x, untuk 0 ≤x≤ 2π, seperti pada Gambar 4.51 berikut ini.(0, 0)π/2π2π3π/2–5–4–3–2–11234y5xπ3,63π,33π,14Gambar 4.51 Grafik fungsi y= tan x, untuk 0 ≤x≤ 2π

Kelas X SMA/MA/SMK/MAK200Dari grafik di atas, jelas kita lihat bahwa jika x semakin mendekati π2 (darikiri), nilai fungsi semakin besar, tetapi tidak dapat ditentukan nilai terbesarnya. Sebaliknya, jika x atau mendekati π2 (dari kanan), maka nilai fungsisemakin kecil, tetapi tidak dapat ditentukan nilai terkecilnya. Kondisi iniberulang pada saat x mendekati π32. Artinya, fungsi y = tan x, tidak memiliki nilai maksimum dan minimum.